Quadratzahlen im Kopf rechnen

Anwendung der 1. oder 2. binomischen Formel beim Quatrieren.

Diese Methode bietet sich besonders an für Zahlen im untererem bis mittlerem 2-stelligen Bereich, kann aber auch für Zahlen bis 99 angewendet werden, wobei es bei den größeren Zahlen zugegebenermaßen im Kopf schwieriger wird.

Wir berechnen als Beispiel das Quatrat der Zahl 54.

Auf der linken Seite der Formel steht dann für a = 50 und für b = 4

Wir rechnen:      a² = 2500,
                   2 x a x b = 400 und
                        b² = 16

Die 3 Einzelergebnisse ergeben zusammen: 2500+400+16 =2916

Zum gleichen Ergebnis führt natürlich auch die 2. binomische Formel

Hier ist die 54 aus a =60 und b=6 zu bilden. Allerdings ist erfahrungsgemäß die Subtraktion im Köpf schwiueriger zu handhaben als die Addition bei der Verwendung der 1. binomischen Formel

Multiplizieren mit der 3. binomischen Formel

Die 3. binomische Formel lässt sich gut verwenden, wenn das Quadrat von a bekannt ist oder sich leicht errechnen lässt.

z.B bei 35 X 45.
In diesem Beispiel wäre a = 40 und b = 5: a² = 1600 und b² = 25
Ergebnis: 1575.

Wenn man Quadratzahlen kennt oder sie leicht errechnen kann, sind auch weitere Multiplikationen leicht auszuführen.

z.B. 22x28 mit a= 25 und b= 3,

 a² = 625  b² = 9

Ergebnis: 616

Wochentag eines beliebigen Datums im Kopf berechnen

Im Vorfeld einiges zum Kalender und einige Begriffe.
Unser Kalender beruht auf immer wieder in hoher Regelmämigkeit eintretenden Ereignissen in unserer Welt die wir nicht verändern können.
1 Tag entspricht in etwa der Umdrehung unserer Erde um Ihre eigene Achse. Die Menschen haben diese Zeitspanne in 24 h eingeteilt.
Die Monate leitete man aus den Mondzyklen ab. Eine Mondzyklus, das sind 29,53 Tage. Das Jahr schließlich hat 365 Tage. Die Erde braucht aber 365 Tage 5 h, 48 min und 46 sec um die Sonne 1x zu umrunden. Das sind dezimal ca. 365,24219 Tage. d.h. die Erde läuft unserem Kalender nach, er wäre zu kurz.. Die exakte Dauer einer Umrundung um die Sonne ist aber für unseren Kalender entscheidend, schließlich ist es ein Solarkalender. Bereits im Jahre 45 v. Chr. wurde von Julius Cäsar der nach ihm benannte Julianische Kalender eingeführt. Er löste den alten römischen Kalender ab, der sich am Mondlauf orientierte. Der Julianische Kalender übernahm auch den 4-jährigen Schaltjahrrhythmus von den Ägypthern, deren astronomische Kenntnisse über den Lauf der Erde um die Sonne bereits vorhanden waren. Mit der Schaltjahrregelung verlängerte sich das Kalenderjahr auf durchschnittlich  365,25 Jahre und war dem astronomischen Jahr nur noch um jährlich 11 min voraus, die sich allerdings in 128 Jahren auf 1 Tag addierten. Das machte besonders der katolischen Kirche Probleme hinsichtlich der Berechnung des Datums für das Osterfest, da sich der Frühlingsanfang inzwischen um 10 Tage in Richtung des Jahresbeginns verschoben hatte.
Mit der Einführung des heute noch gültigen Gregorianischen Kalendes durch Papst Gregor den XIII. wurde das bereinigt durch Wegfall der Tage zwischen dem 4. und 15. Oktober 1582.  Auf Donnerstag, dem 4. Oktober folgte Freitag der 15. Oktober Die Wochentagsfolge wurden nicht unterbrochen. Gleichzeitig wurde eine neue Schaltjahr Regelung eingeführt, die besagt: Durch 4 teilbaren Jahre sind Schaltjahre. Die vollen Jahrhunderte, die zwar durch 4 nicht aber auch durch 400 ganzzahlig teilbar sind, sind keine Schaltjahre.(1700, 1800,1900,2100...)
Mit dieser Regelung beträgt nun das durchschnittliche Kalenderjahr 365,2425 Tage und eilt dem astronomischen Jahr nur noch jährlich 26 sec voraus, so daß erst um das Jahr 3200 durch Wegfall eines Schalttages korrigierend eingegriffen werden muß.
Die neue Schaltjahrregelung bringt einige interessante Effekte.

• 400 Jahre bestehen aus 400x365 Tagen +97 Schalttage = 146097 Tagen und da diese Zahl durch 7 teilbar ist, aus genau 20871 Wochen. Daraus folgt:
• Der Gregorianische Kalender wiederholt sich nach exakt 400 Jahren.
• Alle 28 Jahre fällt das Datum auf den gleichen Wochentag.
• Durch 400 teilbare Jahre (1600,2000,2400...) sind Schaltjahre und beginnen mit einem Sonnabend.
• Da die Anzahl der Monate nicht durch 7 teilbar ist, verteilen sich die Wochentage nicht gleichmäßig auf das Datum. Freitag, der 13. ist eine häufige Kombination.
• Da ein Jahr aus 52 Wochen und 1 Tag besteht, verschieben sich der Wochentage im Folgejahr um einem Tag/Jahr, wenn es sich um eine normales Jahr handel und um 2 Tage bei einem Schaltjahr, allerdings erst ab März..

Berechenung von Wochentagen

Für die Berechnung von Wochentagen zu einem Datum gibt es im Internet eine Vielzahl von Programmen.
Auch MS Excel ist bei richtiger Zellenformatierung dazu in der Lage.
Allerdings hat es auch seinen eigenen Charme, wenn man das ohne diese Hilfsmittel im Kopf berechnen kann.

Im folgenden Video erklärt Prof. Dr. Eduard Weitz von der HAW Hamburg detailiert die Vorgehensweise.

Mit etwas Übung ist es nach seiner Methode problemlos möglich, den Wochentag für ein beliebiges Datum des Gregorianischen Kalenders im Kopf zu berechnen.

Übungen

Festlegungen:

1. Wir rechnen entsprechend der Anzahl der Tage einer Wochei im 7er-System, immer wenn die 6 überschritten wird, ziehen wir 7 ab. Am Ende bleibt eine Zahl von 0 bis 6,  die für den Wochentag steht.
2. Ein 12 Jahre Zyklus enthält immer 12 "Reguläre Jahre und 3 Schaltjahre. Das entspricht 1 Wochentag, der weiter zu zählen ist.
3. Für die Wochentage gilt
   
   

1. Basisjahr ist das Jahr 2000 mit diesem Januarkalender:
   
   

   Mo	Di	Mi	Do	FR	Sa	So
   					1	2
   3	4	5	6	7	8	9

   

1. Beispiel 1: 19.Juni 2072 ( Die 72 ist ganzzahlig durch 12 teiulbar)
   1. Schritt den Wochentag für Januar 2000. Dass der 1.1. auf einen Sa fällt, lassen wir unberücksichtigt und nehmen die Korrektur am Ende vor.
   
   

   Rechenschritte

   Rechenweg

   Erklärung

   Ergebnis

   Tag Januar 2000	19-7-7=5 oder 19:7 =2 Rest 5		5
   Wochentag Juni 2000	Aus Tabelle für Juni = 5	5+5=10-7= 3	3
   Jahr berechnen	72:12 = 6 addieren Rest=0	3+6=9-7 =2	2
   Jahrhundert	Wir bleiben im Jh	0	2
   Korekturfür Jan.2000	Di bis Sa (4 Tage addieren)	+4	6 Sonntag

   
   
   Beispiel 2: 24. Dezember 2044 ( Die 44 ist nicht ganzzahlig durch 12 teilbar)
   1. Schritt den Wochentag für Januar 2000. Dass der 1.1. auf einen Sa fällt, lassen wir unberücksichtigt und nehmen die Korrektur am Ende vor.
   
   

   Rechenschritte

   Rechenweg

   Erklärung

   Ergebnis

   Tag Januar 2000	24:7 =s Rest 3		3
   Wochentag Dezember 2000	Aus Tabelle für Dez. = 6	3+6=9-7= 2	2
   Jahr berechnen	44:12 = 3 addieren Rest=8 addieren	2+3+8=13-7 =6	6
   	8:4 =2 addieren (Schaltjahre)	6+2 =8-7 =1	1
   Jahrhundert	Wir bleiben im Jh	0	1
   Korekturfür Jan.2000	Di bis Sa (4 Tage addieren)	4	5 Sonnabend

   
   
   Beispiel 3: 24.Dezember 1944
   Wenn der 24.12.2044 ein Sonnabend war, dann war es auch der 24.12.1644. Für jedes Jahrhundert müssen 2 Wochentage abgezogen oder 5 Tage dazugezählt werden.
   
   

   Rechenschritte

   Rechenweg

   Erklärung

   Ergebnis

   Tag Januar 2000	24:7 =3 Rest 3		3
   Wochentag Dezember2000	Aus Tabelle für Dez. = 6	3+6=9-7= 2	2
   Jahr berechnen	44:12 = 3 addieren Rest=8 addieren	2+3+8=13-7 =6	6
   	8:4 =2 addieren (Schaltjahre)	6+2 =8-7 =1	1
   Jahrhundert	5x(19-16)=15 =+ 1 Tag im 7er-system	15-7-7 =1	2
   Korekturfür Jan.2000	Di bis Sa (4 Tage addieren)	+4	6 Sonntag

   
   
   
   Beispiel 4: 28.Februar 2024
   Das Jahr 2024 ist ein Schaltjahr und das Datum liegt vor dem 1. März. Da der Schalttag bereits im Rechengang eingerechnet wird, muss am Ende der Rechnung dieser Tag abgezogen werden.
   
   

   Rechenschritte

   Rechenweg

   Erklärung

   Ergebnis

   Tag Januar 2000	28:7 =4 Rest 0		0
   Wochentag Februar 2000	Aus Tabelle für Feb. = 4	0+4	4
   Jahr berechnen	24:12 = 2 Rest 0 addieren 2	4+2	6
   Schaltjahre	0:4 =0	0	6
   Jahrhundert	wir bleiben im 20. Jahrhundert	0	6
   Korekturfür Jan.2000	Di bis Sa (4 Tage addieren)	6+ 4=10-7=3	3
   Datun vor dem 1. März und Schaltjahr	1Tag abziehen,da schon berechnet	-1	2 Mittwoch